Question

12．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O．
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=55°，求∠BOC的度数．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用ASA得到三角形BOE与三角形COD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）由底角的度数，利用等腰三角形性质求出顶角度数，利用四边形内角和定理得到∠A与∠DOE互补，求出∠DOE度数即为所求．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∴△BEC≌△CDB，
∴∠DBC=∠ECB，BE=CD．
在△BOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COD}\\{BE=CD}\\{∠BEC=∠BDE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC；

（2）解：∵∠ABC=55°，AB=AC，
∴∠A=180°-2×55°=70°，
∵∠DOE+∠A=180°，
∴∠BOC=∠DOE=180°-70°=110°．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．