Question

5．有若干个数，第一个数记为a₁，第二个数记为a₂，…，第n个数记为a_n．若a₁=$\frac{2}{3}$，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．通过探究可以发现这些数有一定的排列规律，利用这个规律可得a₂₀₁₆等于（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”可知这列数的周期为3，由2016÷3=672可知a₂₀₁₆=a₃．

解答 解：当a₁=$\frac{2}{3}$时，
${a}_{2}=\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴这列数的周期为3，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”可知这列数的周期为3是解题的关键．