Question

16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为$\frac{3}{5}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 连接EF，由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理求出BE，由SAS证明△ABE≌△DCE，得出BE=CE=$\sqrt{10}$，再由△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积，即可得出结果．

解答 解：连接EF，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，
∵点E为AD中点，
∴AE=DE=1，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠A=∠D}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE=$\sqrt{10}$，
∵△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积，
∴$\frac{1}{2}$BC×AB=$\frac{1}{2}$BE×FG+$\frac{1}{2}$CE×FH，
即BE（FG+FH）=BC×AB，
即$\sqrt{10}$（FG+FH）=2×3，
解得FG+FH=$\frac{3}{5}\sqrt{10}$．
故答案为：$\frac{3}{5}\sqrt{10}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握面积法，证明三角形全等是解决问题的关键．