Question

已知，⊙O₁内切于扇形AOB，切点为C，D，E，⊙O₁的面积为16π，∠AOB=60°，求扇形AOB的周长和面积．

Answer 1

考点：切线的性质,弧长的计算,扇形面积的计算

专题：

分析：首先根据题意画出图形，由⊙O₁的面积为16π，可求得其半径的长，然后由∠AOB=60°，可得∠AOC=∠BOC=

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∠AOB=30°，继而求得OO₁的长，即可求得扇形的半径的长，继而求得答案．

解答：解：如图，∵⊙O₁的面积为16π，
∴πO₁D²=16π，解得O₁D=4，
∵⊙O₁O₁内切于扇形AOB，切点为C，D，E，
∴OC=OO₁+O₁C=OO₁+4，O₁D⊥OA，O₁E⊥OB，
∴∠AOC=∠BOC=

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2

∠AOB=30°，
在Rt△OO₁D中，
∵O₁D=4，∠DOO₁=30°，
∴OO₁=2O₁D=8，
∴OC=12，
∴扇形AOB的周长为：

60×π×12

180

+2×12=4π+24，S_扇形OAB=

60×π×122

360

=24π．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理以及、弧长公式与扇形的面积．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．