Question

如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，AC=CP．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若PC=6，AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）连结OC，如图，由∠A=30°，AC=CP得到∠P=∠A=30°，加上∠OCA=∠A=30°，则根据三角形外角性质得∠POC=∠A+∠OCA=60°，根据三角形内角和定理可计算出∠PCO=90°，则OC⊥PC，然后根据切线的判定定理得到PC是⊙O的切线；
（2）利用S_影阴部分=S_△POC-S_扇形BOC和扇形的面积公式计算．

解答：解：（1）连结OC，如图，
∵∠A=30°，AC=CP，
∴∠P=∠A=30°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠POC=∠A+∠OCA=60°，
∴∠PCO=180°-∠P-∠POC=90°
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵AB=4，
∴OC=2，
∴S_影阴部分=S_△POC-S_扇形BOC
=

1

2

•2•6-

60•π•22

360

=6-

2

3

π．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了扇形面积的计算．