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【题目】平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点A,C的坐标分别为(-3,0),(0,3),对称轴直线x=-1交x轴于点E,点D为顶点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点K是直线AC下方的抛物线上一点,且SKAC=SDAC求点K的坐标;

(3)如图2若点P是线段AC上的一个动点,DPM=30°,DPDM,则点P的线段AC上运动时,D点不变,M点随之运动,求当点P从点A运动到点C时,点M运动的路径长.

【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)点K的坐标为()或();(3)

【解析】

试题分析:(1)根据条件可得到关于a、b、c的三元一次方程组,只需解这个方程组就可解决问题;

(2)过点D作DHy轴于H,连接EK交y轴于F,连接EC,如图1,运用割补法可求出DAC的面积,易得SADC=SAEC,由SKAC=SDAC,可得SKAC=SEAC,从而可得EKAC,根据平行线分线段成比例可求出OF,然后运用待定系数法可求出直线EK的解析式,只需求出直线EK与抛物线的交点坐标就可解决问题;

(3)设点P在点A处时点M在点M′,点P在点C处时点M在点M″,如图2.易证DPC∽△DMM″,DAC∽△DM′M″,从而可得DM″M=DM″M′=DCP,由于DCP是定值,因此点M的运动路径是线段M′M″,然后只需根据DM′M″∽△DAC,运用相似三角形的性质就可解决问题.

试题解析:(1)由题意可得,

解得

抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;

(2)过点D作DHy轴于H,连接EK交y轴于F,连接EC,如图1.

由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4可得顶点D为(-1,4),

SADC=S梯形AOHD-SOAC-SDHC

=(1+3)×4-×3×3-×1×(4-3)=3.

SAEC=AEOC=×2×3=3,

SADC=SAEC

SKAC=SDAC

SKAC=SEAC

EKAC,

OF=1,F(0,1).

设直线EK的解析式为y=mx+n,则有

解得

直线EK的解析式为y=x+1.

解方程组,得

点K的坐标为()或();

(3)设点P在点A处时点M在点M′,点P在点C处时点M在点M″,如图2.

∵∠CDM″=PDM=90°,DPM=DCM″=30°,

PDC=MDM″,

∴△DPC∽△DMM″,

∴∠DCP=DM″M.

同理可得DAC∽△DM′M″,

∴∠DCA=DM″M′.

∴∠DM″M=DM″M′=DCP,

∵∠DCP是定值,

点M的运动路径是线段M′M″.

∵△DM′M″∽△DAC,

AC=

M′M″=

点M的运动路径长为

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