【题目】平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点A,C的坐标分别为(-3,0),(0,3),对称轴直线x=-1交x轴于点E,点D为顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点K是直线AC下方的抛物线上一点,且S△KAC=S△DAC求点K的坐标;
(3)如图2若点P是线段AC上的一个动点,∠DPM=30°,DP⊥DM,则点P的线段AC上运动时,D点不变,M点随之运动,求当点P从点A运动到点C时,点M运动的路径长.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)点K的坐标为(,)或(,);(3) .
【解析】
试题分析:(1)根据条件可得到关于a、b、c的三元一次方程组,只需解这个方程组就可解决问题;
(2)过点D作DH⊥y轴于H,连接EK交y轴于F,连接EC,如图1,运用割补法可求出△DAC的面积,易得S△ADC=S△AEC,由S△KAC=S△DAC,可得S△KAC=S△EAC,从而可得EK∥AC,根据平行线分线段成比例可求出OF,然后运用待定系数法可求出直线EK的解析式,只需求出直线EK与抛物线的交点坐标就可解决问题;
(3)设点P在点A处时点M在点M′,点P在点C处时点M在点M″,如图2.易证△DPC∽△DMM″,△DAC∽△DM′M″,从而可得∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP,由于∠DCP是定值,因此点M的运动路径是线段M′M″,然后只需根据△DM′M″∽△DAC,运用相似三角形的性质就可解决问题.
试题解析:(1)由题意可得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)过点D作DH⊥y轴于H,连接EK交y轴于F,连接EC,如图1.
由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4可得顶点D为(-1,4),
∴S△ADC=S梯形AOHD-S△OAC-S△DHC
=(1+3)×4-×3×3-×1×(4-3)=3.
又∵S△AEC=AEOC=×2×3=3,
∴S△ADC=S△AEC.
∵S△KAC=S△DAC,
∴S△KAC=S△EAC,
∴EK∥AC,
∴,
∴,
∴OF=1,F(0,1).
设直线EK的解析式为y=mx+n,则有,
解得,
∴直线EK的解析式为y=x+1.
解方程组,得,
∴点K的坐标为(,)或(,);
(3)设点P在点A处时点M在点M′,点P在点C处时点M在点M″,如图2.
∵∠CDM″=∠PDM=90°,∠DPM=∠DCM″=30°,
∴,∠PDC=∠MDM″,
∴△DPC∽△DMM″,
∴∠DCP=∠DM″M.
同理可得△DAC∽△DM′M″,
∴∠DCA=∠DM″M′.
∴∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP,
∵∠DCP是定值,
∴点M的运动路径是线段M′M″.
∵△DM′M″∽△DAC,
∴.
∵AC=,
∴M′M″=,
∴点M的运动路径长为.
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【题目】已知关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0,下列说法正确的是( )
A.当k=0时,方程无解
B.当k=1时,方程有一个实数解
C.当k=﹣1时,方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
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【题目】如图,⊙E的圆心E(3,0),半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方),与x轴的正半轴相交于点C;直线l的解析式为y=x+4,与x轴相交于点D;以C为顶点的抛物线经过点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断直线l与⊙E的位置关系,并说明理由;
(3) 动点P在抛物线上,当点P到直线l的距离最小时,求出点P的坐标及最小距离.
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【题目】某工程承包方指定由甲、乙两个工程队完成某项工程,若由甲工程队单独做需要40天完成,现在甲、乙两个工程队共同做20天后,由于甲工程队另有其它任务不再做该工程,剩下工程由乙工程队再单独做了20天才完成任务.
(1)求乙工程队单独完成该工程需要多少天?
(2)如果工程承包方要求乙工程队的工作时间不能超过30天,要完成该工程,甲工程队至少要工作多少天?
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【题目】为了解某市参加中考的25000名学生的体重情况,抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析,下列叙述正确的是( )
A.25000名学生是总体B.每名学生是总体的一个个体
C.1500名学生的体重是总体的一个样本D.样本容量是1500名
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【题目】如图,圆心都在x轴正半轴上的半圆O1、半圆O2、…、半圆On与直线y=x相切,设半圆O1、半圆O2、…、半圆On的半径分别是r1、r2、…、rn,则当r1=2时,r2016= .
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【题目】(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证:ADBC=APBP.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=12,AD=BD=10.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,求t的值.
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