Question

直线l₁交y轴的正半轴于A，交x轴的正半轴于B，将l₁沿y轴翻折得l₂，l₂交x轴于C，在△ABC外以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠DAC=90°，AD=AC，连BD分别交y轴、AC于E、G，CE交AB于F．
（1）若l₁的解析式为y=-

3

x+

3

，①求直线GE的解析式；②求

AF

BF

的值．
（2）若点G恰为线段AC的三等分点，且CD=6

2

，GE=

 

（直接写出GE的长）

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）①作DM⊥x轴垂足为M，AN⊥DM垂足为N，由l₁的解析式得出OA=

3

，OB=1，得到A，B，C的坐标，利用△ADN≌△ACO得出AN=OA=

3

，DN=OC=1，求出点D的坐标，把
B，D的坐标代入y=kx+b求出解析式．②由直线GE的解析式求出E，C坐标，求出直线CE的解析式，再利用比例式求出

AF

BF

的值．
（2）利用△AGD∽△EGC，得出，

CE

DA

=

GE

AD

，利用线段关系求出线段代入，求出GE．

解答：
解：（1）如图1，作DM⊥x轴垂足为M，AN⊥DM垂足为N，
由l₁的解析式为y=-

3

x+

3

可知OA=

3

，OB=1，
∴A（0，

3

），B（1，0），C（-1，0），
∵∠NAO=∠DAC=90°，
∴∠DAN=∠CAO，AD=AC，
在△ADN和△ACO中，

∠DNA=∠COA ∠DAN=∠CAO AD=AC

∴△ADN≌△ACO（AAS），
∴AN=OA=

3

，DN=OC=1，
∴DM=DN+AO=1+

3

，
∴D（-

3

，1+

3

），
①设直线GE的解析式为：y=kx+b，
∵经过B（1，0），D（-

3

，1+

3

），
∴

0=k+b 1+ 3 =- 3 k+b

，解得；

k=-1 b=1

，
∴直线GE的解析式为y=-x+1，
②∵直线GE的解析式为y=-x+1，
∴E（0，1），C（-1，0），
∴直线CE的解析式为；y=x+1
解

y=x+1 y=- 3 x+ 3

 得

x=2- 3 y=3- 3

∴

AF

AB

=

2- 3

1

，
∴

BF

AF

=

1-(2- 3 )

2- 3

，即

AF

BF

=

2- 3

3 -1

=

3 -1

2

．
（2）如图2，

∵∠DAC=90°，AD=AC，CD=6

2

，
∴AD=AC=6，
∵G恰为线段AC的三等分点，
∴AG=6×

1

3

=2，CG=6×

2

3

=4，
∵l₁沿y轴翻折得l₂，
∴AC=AB，
∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵AO是CB的中垂线，
∴∠ACF=∠ABD
∴∠ADB=∠ACF，
又∵∠AGD=∠EGC，
∴△AGD∽△EGC，
∴∠GEC=90°，

CE

DA

=

GE

AD

，
∵CE=

CG2-GE2

=

16-GE2

∴

16-GE2

6

=

GE

2

，
解得GE=

2 10

5

点评：本题主要考查了一次函数综合题，解题的关键是利用三角形相似求出线段．