Question

【题目】如图，四边形是菱形，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的坐标为，直线与轴相交于点，连接．

（1）求菱形的边长；

（2）证明为直角三角形；

（3）直线上是否存在一点使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）证明见解析；（3）为或．

【解析】

（1）过点作轴于点，利用A点坐标及勾股定理即可求解；

（2）根据菱形的性质求出B,C点坐标，再求出AC的解析式，进而求出D点坐标，利用待定系数法求出直线BD,BC的解析式，根据k的值即可判断；

（3）根据△与的面积相等，故同底等高，于是延长BD交AO于P，即为所求，联立两直线的解析式即可求出P点坐标，再根据对称性求出另一点坐标．

解（1）过点作轴于点，

，，

∴

（2）∵为菱形，∴，

∴

又∵，

∴

又∵，

设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)

把A,C代入得，

解得，

∴，

令x=0,y=，

∴点

设直线BC的解析式为y=px+q(p≠0)

把B,C代入得，

解得，

∴，

设直线BD的解析式为y=mx+n(m≠0)

把B,D代入得，

解得，

∴，

∴

∵，

∴

所以为直角三角形；

（3）延长交于点，

∵，

∴

∵，

设直线AO的解析式为y=cx（c≠0），

把A代入得12=-5c，

解得c=，

∴，

由（2）知联立得：

，

解得，

所以点，

作关于点的对称点，

设P’（x,y），

可根据中点得：，

解得，

∴，

综上点为或．