Question

问题：你能比较两个数2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小吗？为了解决问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是正整数），然后，从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论：已通过计算，比较下列各组数中两个数的大小（填＞，＜，=）
①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵
（1）从上面的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是

当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n＞3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（2）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：2010²⁰¹¹

＞

2011²⁰¹⁰．

Answer 1

分析：根据有理数的乘方的定义分别进行计算，再进行比较即可；
（1）根据上述得出的答案分情况解答即可；
（2）根据（1）的结论解答即可．

解答：解：①1²=1，2¹=2，则1^2＜2¹；
②2³=8，3²=9，则2³＜3²；
③3⁴=81，4³=64，则3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，则4⁵＞5⁴；
⑤5⁶＞6⁵；
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞；
（1）从上面的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是：
当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n＞3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案为：当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n＞3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（2）∵2010＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案为：＞．

点评：本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键．