Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD．
（1）求证：点D为CE的中点；
（2）若EF⊥BC，EF=$\sqrt{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，进而可证明点D为CE的中点；
（2）根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC且AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，即D为CE中点；
（2）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
∵EF=$\sqrt{3}$，
∴CE=2，
∴AB=$\sqrt{C{E}^{2}-E{F}^{2}}$=1．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．