Question

已知：如图，BD、CE都是△ABC的高，在BD上截取BF，使BF=AC，在CE的延长线取一点G，使CG=AB．试探索线段AF和AG的关系，并说明理由．

Answer 1

解：AG=AF且AG⊥AF．
理由如下：①AF=AG，
∵BD、CE都是△ABC的高，
∴∠ACG+∠BAC=90°，∠FBA+∠BAC=90°，
∴∠ACG=∠FBA，
∵BF=AC，CG=AB，
∴△ACG≌△FBA，
∴AF=AG．
②AF⊥AG，
∵△ACG≌△FBA，
∴∠G=∠EAF，
∵CG⊥AB，
∴∠G+∠GAE=90°，
∴∠EAF+∠GAE=90°，
∴AG⊥AF，
∴AG=AF且AG⊥AF．
分析：①AF=AG，由已知即可推可知，∠ACG+∠BAC=90°，∠FBA+∠BAC=90°，即可推出∠ACG=∠FBA，然后结合题意，即可推出△ACG≌△FBA，即可推出AF=AG；②AF⊥AG，由△ACG≌△FBA，推出∠G=∠EAF，然后根据题意推出∠G+∠GAE=90°，再通过等量代换即可推出AG⊥AF．
点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，同角的余角的性质，关键在于根据全等三角形的判定定理“SAS”，推出△ACG≌△FBA．