Question

8．如图，点A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上．
（1）求k的值；
（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用反比例函数图象上点的坐标性质代入求出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出D点纵坐标，进而代入函数解析式得出D点横坐标即可．

解答 解：（1）∵点A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，
∴k=（1-$\sqrt{5}$）（1+$\sqrt{5}$）=1-5=-4；

（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD，
∴DC$\stackrel{∥}{=}$AB，
∵A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），B（0，1），
∴BE=$\sqrt{5}$，
由题意可得：∠ABE+∠ABC+∠CBO+∠OCB+∠DCB+∠DCF=180°+180°=360°，
∵∠DCB+∠ABC=180°，
∴∠ABE+∠CBO+∠OCB+∠DCF=180°，
∵∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠DCF+∠ABE=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠EAB=∠DCF，
在△BEA和△DFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠DFC}\\{∠EAB=∠FCD}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△BEA≌△DFC（AAS），
则DF=BE=$\sqrt{5}$，
则$\sqrt{5}$=$\frac{-4}{x}$，
解得：x=$\frac{-4\sqrt{5}}{5}$，
∴点D的坐标为：（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及平行四边形的性质，得出D点纵坐标是解题关键．