Question

17．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}$[$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}$-$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．

Answer 1

分析 分别把1、2代入式子化简求得答案即可．

解答 解：第1个数，当n=1时，
$\frac{1}{\sqrt{5}}$[$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}$-$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{5}$
=1．

第2个数，当n=2时，
$\frac{1}{\sqrt{5}}$[$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}$-$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$+$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×1×$\sqrt{5}$
=1．

点评 此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．