Question

若a，b，c，d都是实数，且ab=2（c+d），求证：关于x的方程x²+ax+c=0，x²+bx+d=0中至少有一个方程有实数根．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：证明题

分析：首先分别求出两个方程的判别式，然后把它们相加，接着利用ab=2（c+d）证明它们的和是非负数，根据判别式与方程的根的关系即可解决问题．

解答：解：方程x²+ax+c=0的判别式为△₁=a²-4c，
方程x²+bx+d=0的判别式为△₂=b²-4d，
所以△₁+△₂=a²-4c+b²-4d=a²+b²-4（c+d），
∵ab=2（c+d），
∴△₁+△₂=a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，
∴△₁和△₂中至少有一个正数或都是0，
∴方程x²+ax+c=0，x²+bx+d=0中至少有一个方程有实根．

点评：此题考查了一元二次方程的根和判别式之间的关系，若△＞0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等的实数根；若△＜0，则方程没有实数根．