Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B抛物线经过点A，且交x轴于另外一点C，交y轴于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证：AB⊥BC；

（3）点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m，当以B，D，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）见解析；（3）m的值是2或1+或1﹣．

【解析】

（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，即可求解，然后把点A的坐标代入抛物线解析式，借助于方程求得a的值即可；

（2）把由函数图象上点的坐标特征求得点B、C的坐标，然后利用两点间的距离公式和勾股定理的逆定理证得结论；

（3）以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|＝BD即可求解．

（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，y＝0，则x＝2，

即：点A坐标为：（4，0）．

代入中，得16a﹣8＝0，得a＝．

∴该抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2．

∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝4，的C（﹣1，0）．

故OC＝1．

于是AB2＝20，BC2＝5，AC2＝25．

从而AB2+BC2＝AC2．

∴AB⊥BC；

（3）由（1）知，抛物线解析式为： ．

当x＝0时，y＝2，得D（0，﹣2），

∴BD＝4．

当MQ＝（﹣m+2）﹣＝﹣m﹣4＝4时，得m＝2或m＝0（舍去）．

当MQ＝（m2﹣m﹣2）﹣（﹣m+2）＝﹣m﹣4＝4时，得m＝1+或m＝1﹣．

综上所述，m的值是2或1+或1﹣．