Question

10．探究活动：
利用函数y=（x-1）（x-2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$的自变量x的取值范围是x≤1或x≥2；
（2）如图2，他列表描点画出了函数y=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$图象的一部分，请补全函数图象；
解决问题：
设方程$\sqrt{（x-1）（x-2）}$-$\frac{1}{4}$x-b=0的两根为x₁、x₂，且x₁＜x₂，方程x²-3x+2=$\frac{1}{4}$x+B的两根为x₃、x₄，且x₃＜x₄．若1＜b＜$\sqrt{2}$，则x₁、x₂、x₃、x₄的大小关系为x₁＜x₃＜x₄＜x₂（用“＜”连接）．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质，列出不等式，解之即可；
（2）由于x≤1或x≥2，所以函数图象应该是两条分支，根据对称性，补全另一分支即可；
（3）将方程的根转化为两函数图象交点的横坐标，作出函数图象，一目了然．

解答 解：（1）∵（x-1）（x-2）≥0，
∴x≤1或x≥2；
（2）根据自变量x的取值范围可知，当x≥2时也有对应的函数图象，
补全后的函数图象如下图所示：

（3）方程$\sqrt{（x-1）（x-2）}$-$\frac{1}{4}$x-b=0等价于方程$\sqrt{（x-1）（x-2）}$=$\frac{1}{4}$x+b，
方程的两根x₁、x₂相当于函数y=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$与函数y=$\frac{1}{4}$x+b图象的两个交点的横坐标，
方程x²-3x+2=$\frac{1}{4}$x+b的两根为x₃、x₄，相当于函数y=x²-3x+2=（x-1）（x-2）与函数y=$\frac{1}{4}$x+b图象的两个交点的横坐标，
又∵1＜b＜$\sqrt{2}$，
所以，在同一平面直角从标系中，画出函数图象，如图所示：

故x₁＜x₃＜x₄＜x₂．

点评 本题主要考查了函数自变量的取值范围、函数图象的画法、函数图象的交点问题，题目新颖，但难度不大．第（3）问体现了化归与转化的数学思想，将方程与函数巧妙地结合在一起，方程的根转化为函数图象交点的横坐标，利用数形结合，将看似抽像的问题变得形像化了，从而使问题解决起来变得容易．