Question

问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．
（1）则△ABC的面积为______．
（2）如图△PQR，以三边向形外作正方形，正方形的面积分别为10、13、17，请根据前面正方形网格求面积的方法求△PQR的面积为______．
（3）在图②中画△DEF，使DE、EF、DF的长分别为、、，判断三角形的形状，说明理由．

Answer 1

解：（1）S_△ABC=3×3-×1×2-×2×3-×1×3=；

（2）建立起网格，如图（1）所示，

则可得：S_△ABC=3×4-×1×4-×1×3-×2×3=；

（3）如图所示：

∵DE=，EF=2，DF=，
∴DE²+EF²=DF²，
∴△DEF是直角三角形．
分析：（1）根据题目设置的问题背景，结合图形进行计算即可；
（2）先建立网格，然后将△PQR，建立在网格上，利用构图法求解即可；
（3）根据勾股定理，找到DE、EF、DF的长分别为、、，由勾股定理的逆定理可判断△DEF是直角三角形．
点评：本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握．