Question

5．如图，抛物线y=-（x+m）²+k的顶点A的坐标为（2，4），与x轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（0，4），点A，P关于直线BC对称．
（1）求此抛物线的表达式及点P的坐标；
（2）若抛物线y=-（x+m）²+k向下平移h个单位长度后顶点恰好落在△BOC内部（含边界），请直接写出h的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式得到m、k的值，易得抛物线的解析式；然后利用待定系数法求得直线BC的方程，由点的对称性来求点P的坐标．
（2）根据点P的坐标得到点D的坐标是（2，2）．所以结合点A的坐标来求h的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=-（x+m）²+k的顶点坐标为（-m，k），抛物线y=-（x+m）²+k的顶点A的坐标为（2，4），
∴m=-2，k=4．
则该抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+4．
由抛物线的对称性易得B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=ax+b（a≠0）．则
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
则直线BC的解析式为：y=-x+4．
设P（0，y）．
∵点A，P关于直线BC对称，
∴-$\frac{0+2}{2}$+4=$\frac{4+y}{2}$，
解得y=2．
故点P的坐标是（0，2）．

（2）由（1）易得点D的坐标是（2，2）．
则h的取值范围为：2≤h≤4．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．抛物线的顶点式方程：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，了解h、k的意义是解答（1）题的关键．