Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c的图象经过点A（4，0）和点B（-6，0），直线y=$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴交于点E、F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若K是△EFO的内心，求证：∠KFO+∠KEO=45°；
（3）若在x轴上有一点D满足∠DFA=$\frac{1}{2}$∠EFO，求点D的坐标；
（4）若M为x轴上方抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线EF于点N，点P是点N关于直线MF的对称点，是否存在点M，使得点P落在y轴上？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据三角形内心的性质可知$∠KFO=\frac{1}{2}∠EFO$，∠KEO=$\frac{1}{2}$∠FEO，从而得出∠KFO+∠KEO=$\frac{1}{2}$（∠EFO+∠FEO）=$\frac{1}{2}$×90°=45°．
（3）先求得E、F的坐标，设射线EK交y轴于G，作GP⊥EF于P，设OG=x，则FG=4-x，PF=EF-EP=EF-EO=5-3=2，然后根据勾股定理得出x²+4=（4-x）²，解得OG=$\frac{3}{2}$，然后分两种情况分别讨论，通过三角形相似即可求得点D的坐标；
（4）先通过联立方程求得抛物线和直线交点的横坐标，然后分三种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）如图1，把（4，0），（-6，0）分别代入y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c中，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}×16+4b+c=0}\\{-\frac{1}{3}×36-6b+c=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{2}{3}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8；
（2）如图1，∵K是△EFO的内心，
∴$∠KFO=\frac{1}{2}∠EFO$，∠KEO=$\frac{1}{2}$∠FEO，
∴∠KFO+∠KEO=$\frac{1}{2}$（∠EFO+∠FEO）=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）由直线y=$\frac{4}{3}$x+4可知F（0，4），E（-3，0），如图2，
设射线EK交y轴于G，作GP⊥EF于P，
设OG=x，则FG=4-x，PF=EF-EP=EF-EO=5-3=2，
∴x²+4=（4-x）²，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴OG=$\frac{3}{2}$，
若点D在线段OA上，
∵∠DFA+∠DFO=45°，∠KFO+∠KEO=45°，∠DFA=∠KFO，
∴∠DFO=∠GEO，
∴△ODF∽△OGE，
∴$\frac{OD}{OF}$=$\frac{OG}{OE}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2，
∴D（2，0）；
若点D在线段OA的延长线上，
∵∠DFA+∠FDO=45°，∠KFO+∠KEO=45°，
又∵∠DFA=∠KFO，
∴∠FDO=∠GEO，
∴△ODF∽△OGE，
∴$\frac{OF}{OD}$=$\frac{OG}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=8，
∴D（8，0）；
（4）M（1，7）或（3，3）或（-4，$\frac{16}{3}$），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+8}\\{y=\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$得x=-3±$\sqrt{21}$，
∴抛物线与直线解得的横坐标为x₁=-3+$\sqrt{21}$，x₂=-3-$\sqrt{21}$，
设M（x，-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8），N（x，$\frac{4}{3}$x+4），
由题意得：FN=MN，
若-3+$\sqrt{21}$＜x＜4，如图3①，则MN=$\frac{1}{3}$x²+2x-4，FN=$\frac{5}{3}$x，
∴$\frac{1}{3}$x²+2x-4=$\frac{5}{3}$x，
∴x₁=-4（舍去），x₂=3，
∴M（3，3）；
若0＜x＜-3+$\sqrt{21}$，如图3②，则MN=-$\frac{1}{3}$x²-2x+4，FN=$\frac{5}{3}$x，
∴-$\frac{1}{3}$x²-2x+4=$\frac{5}{3}$x，
∴x₁=-12（舍去），x₂=1，
∴M（1，7）；
若-6＜x＜0，如图3③，则MN=-$\frac{1}{3}$x²-2x+4，FN=-$\frac{5}{3}$x，
∴-$\frac{1}{3}$x²-2x+4=-$\frac{5}{3}$x，
∴x₁=3（舍去），x₂=-4，
∴M（-4，$\frac{16}{3}$），
综上M点的坐标为（1，7）或（3，3）或（-4，$\frac{16}{3}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的内心，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，数形结合思想的运用是解题的关键．