Question

14．设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数y=（a-$\frac{b}{2}$）x²-cx-a-$\frac{b}{2}$在x=1时取最小值-$\frac{8}{5}$b，则sinA=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 首先根据二次函数y=（a-$\frac{b}{2}$）x²-cx-a-$\frac{b}{2}$在x=1时取最小值-$\frac{8}{5}$b，可得-$\frac{-c}{2（a-\frac{b}{2}）}=1$，$\frac{-4（a-\frac{b}{2}）（a+\frac{b}{2}）{-（-c）}^{2}}{4（a-\frac{b}{2}）}=-\frac{8}{5}b$，据此求出a、b、c的关系，进而判断出△ABC是直角三角形；然后根据一个角的正弦的求法，求出sinA的值是多少即可．

解答 解：∵二次函数y=（a-$\frac{b}{2}$）x²-cx-a-$\frac{b}{2}$在x=1时取最小值-$\frac{8}{5}$b，
∴-$\frac{-c}{2（a-\frac{b}{2}）}=1$…（1），
∴$\frac{-4（a-\frac{b}{2}）（a+\frac{b}{2}）{-（-c）}^{2}}{4（a-\frac{b}{2}）}=-\frac{8}{5}b$…（2），
由（1），可得
c=2a-b…（3），
由（2），可得
20a²+11b²-32ab+5c²=0…（4），
把（3）代入（4），可得
10a²-13ab+4b²=0，
解得b=2a，或b=$\frac{5}{4}a$，
（1）当b=2a时，
c=2a-b=2a-2a=0，不符合题意；
（2）当b=$\frac{5}{4}$a时，
c=2a-b=2a-$\frac{5}{4}$a=$\frac{3}{4}a$，
∵${a}^{2}{+（\frac{3}{4}a）}^{2}$=$\frac{25}{16}$a²，${（\frac{5}{4}a）}^{2}$=$\frac{25}{16}$a²，
∴a²+c²=b²，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴sinA=$\frac{a}{\frac{5}{4}a}=\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 （1）此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$．
（2）此题还考查了直角三角形的判断和性质的应用，以及一个角的三角函数值的求法，要熟练掌握．