【题目】如图,抛物线的顶点为C,对称轴为直线
,且经过点A(3,-1),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)经过点A的直线交抛物线于点P,交x轴于点Q,若,试求出点P的坐标.
【答案】(1);(2)△ABC是直角三角形,理由见解析;(3)点P的坐标为
、
、
或
【解析】分析:(1)利用待定系数法,联立方程组即可解得;(2)利用解析式,可得B(0,2),C(1,3),再由A(3,-1),求出AB,AC,BC ,利用勾股定理的逆定理即可得出结果;(3)分两种情况讨论:当点Q在线段AP上时,当点Q在PA延长线上时,可得点P的坐标.
本题解析:
(1)由题意得:, 解得:
∴抛物线的解析式为
(2)由得:当
时,y=2.,∴
,由
得,
∵A(3,-1),∴,∴
∴∠ABC=90°,∴△ABC是直角三角形.
(3)①如图,当点Q在线段AP上时,过点P作PE⊥x轴于点E,AD⊥x轴于点D
∵,∴PA=2AQ,∴PQ=AQ
∵PE∥AD,∴△PQE∽△AQD,
∴,∴PE=AD=1
由得:
∴P或
②如图,当点Q在PA延长线上时,过点P作PE⊥xE,AD⊥x轴于点D
∵,∴PA=2AQ,∴PQ=3AQ
∵PE∥AD,∴△PQE∽△AQD,
∴,∴PE=3AD=3
由得:
,∴P
或
.
综上可知:点P的坐标为、
、
或
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【题目】已知二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A(0,4)和B(1,﹣2).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求此抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3)设抛物线的顶点为C,试求△CAO的面积.
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【题目】自2016年国庆后,许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率,准备对收费作如下调整:一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,当次车费就比上次车费减少0.1元,第6次开始,当次用车免费.具体收费标准如下:
使用次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5(含5次以上) |
累计车费 | 0 | 0.5 | 0.9 | 1.5 |
同时,就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿,得到如下数据:
使用次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人数 | 5 | 15 | 10 | 30 | 25 | 15 |
(Ⅰ)写出的值;
(Ⅱ)已知该校有5000名师生,且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试估计:收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利? 说明理由.
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【题目】已知:如图,在山脚的A处测得山顶D的仰角为45°,沿着坡度为30°的斜角前进400米处到B处(即∠BAC=30°,AB=400米),测得D的仰角为60°,求山的高度CD.
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【题目】耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔,是“运河四大名塔”之一(如图1).数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处,利用测角仪测得运河两岸上的A,B两点的俯角分别为17.9°,22°,并测得塔底点C到点B的距离为142米(A、B、C在同一直线上,如图2),求运河两岸上的A、B两点的距离(精确到1米).(参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,sin17.9°≈0.31,cos17.9°≈0.95,tan17.9°≈0.32)
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【题目】若抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为(0,2),则下列说法正确的是( )
A. 抛物线开口向下
B. 抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
C. 当x=1时,y有最大值为0
D. 抛物线的对称轴是直线x=
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【题目】一个钢筋三角架三边长分别为,
,
,现在要做一个和它相似的钢筋三角架,而只有长为
和
的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种或四种以上
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【题目】如图,已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0),对于下列结论:①2a+b=0;②abc<0;③a+b+c>0;④当x>1时,y随x的增大而减小;其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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