Question

.如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值。（图（2）、图（3）供画图探究）

Answer 1

解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3）， ∴解得 ∴抛物线解析式为y=x2-4x+3； （2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1）， ∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，2-1），M3，M4（2，-2-1）； （3）由（1），得A（1，0），连接BP， ∵∠CBA=∠ABP=45°， ∴当时，△ABC∽△PBQ， ∴BQ=3， ∴Q1（0，0）， ∴当时，△ABC∽△QBP， ∴BQ=， ∴Q2； （4）当0＜x＜3时， 在此抛物线上任取一点E连接CE、BE， 经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F， 设点F（x，-x+3），点E（x，x2-4x+3）， ∴EF=-x2+3x， ∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF·OB=-x2+x=， ∵a=-＜0， ∴当x=时，S△CBE有最大值， ∴y=x2-4x+3=-， ∴E。