Question

17．（1）如果将一副三角板△ABC和△BED如图1放置，其中∠BAC=∠BDE=90°，BD=ED，AD∥BE，AC与ED交于点P，求证：AB=AP．
（2）如果将一副三角板△ABC和△BED如图2放置，其中∠BAC=∠BDE=90°，BD=ED，AD∥BE，AC与ED的延长线交于点P，试问△ABP是轴对称图形吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AF⊥AD，交DB于点F，证得△BAF≌△PAD，可以证明BA=AP；
（2）过点A作AF⊥AD，交DB的延长线于点F，证得△BAF≌△PAD，可以证明BA=AP，从而证得△ABP是轴对称图形；

解答 （1）证明：如图1，过点A作AF⊥AD，交DB于点F，

则△ADF为等腰直角三角形，
∴DA=AF．
∵∠1+∠FAP=90°，∠FAP+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BAF与△PDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AF=AD}\\{∠AFB=∠ADP=135°}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△PAD（ASA），
∴AB=AP．

（2）证明：如图2，过点A作AF⊥AD，交DB的延长线于点F，

则△ADF为等腰直角三角形，
∴AD=AF．
∵∠FAB+∠DAB=90°，∠DAB+∠CAD=90°，
∴∠FAB=∠CAD．
在△BAF与△PAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠CAD}\\{AF=AD}\\{∠AFB=∠ADP=45°}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△PAD（ASA），
∴AB=AP，
∴△ABP是轴对称图形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．