Question

在某省举行的中学教师课件及观摩课比赛中，其中一个参赛课件是这样的：在平面上有n个过同一点P且半径相等的圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其它交点，演示探索这样的n个圆把平面划分成几个平面区域的问题．大屏幕上首先依次显现了如下几个场景：

试问：当有n个圆按此规律相交时，可把平面划分成多少个平面区域？这n个圆共有几个交点？

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系

专题：规律型

分析：首先根据题意列表：

圆的个数n	1	2	3	4	5	…	n
平面区域数Sn	2	4	7	11	16	…
圆的交点数ak	1	2	4	7	11	…

然后根据表格归纳规律，即可求得答案．

解答：解：根据已知列表得：

圆的个数n	1	2	3	4	5	…	n
平面区域数Sn	2	4	7	11	16	…
圆的交点数ak	1	2	4	7	11	…

则S₂-S₁=2，
S₃-S₂=3，
S₄-S₃=4，
S₅-S₄=5，
…
由此，不难推测：S_n-S_n-1=n．
把上面（n-1）个等式左、右两边分别相加，就得到：S_n-S₁=2+3+4+…+n，
∵S₁=2，
∴S_n=2+2+3+4+…+n=1+（1+2+3+4+…+n）=1+

n(n+1)

2

=

n2+n+2

2

．
∴n个圆过P点时，可把平面划分成

n2+n+2

2

个平面区域；
同理：a₁=1，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
a₅-a₄=4，
…
a_n-1-a_n-2=n-2，
a_n-a_n-1=n-1．
n个式子相加a_n=1+（1+2+3+4+…+n-1）=1+

(n-1)n

2

=

n2-n+2

2

．
∴这n个圆共有

n2-n+2

2

个交点．

点评：本题考查了圆与圆的位置关系．属于规律型：图形的变化类题目．解题关键是由特殊到一般，其中第（1）题因为S_n-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在S_n-1上，所以有S_n=S_n-1+n．