Question

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE⊥AC于点E，点F在EB延长线上，BF=AC，连接DF交AB于点G．
（1）求证：∠ADG=∠CDG；
（2）若AO=AG，矩形ABCD的面积为，求FG长．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD∥AB，AC=BD，AC=2OA，BD=2OB，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠EOB=∠OAB+∠OBA=2∠OBA，
∵BD=AC，AC=BF，
∴BD=BF，
∴∠F=∠BDF，
∴∠EBO=∠F+∠BDF=2∠BDG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90°，
∴∠EBO+∠EOB=90°，
∴2∠BDG+2∠OBA=90°，
∴∠BDG+∠OBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠OBA=∠ODC，
∴∠ODC+∠BDG=45°，
即∠CDG=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADG=90°-45°=45°，
∴∠ADG=∠CDG．

解：（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAG=90°，
∴∠DGA=∠ADG=45°，
∴AD=AG，
∵AO=OB=OD=AG，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，
∴∠DAO=60°，∠CAB=30°，
∵∠ABC=90°，
∴AC=2BC，AB==BC，
∴S_矩形ABCD=BC×BC=9，
∴BC=3，
∴AB=3，
∵∠CAB=30°，∠AEB=90°，
∴∠ABE=60°，
过F作FH⊥AB交AB延长线于H，
∵∠FBH=∠ABE=60°，∠BHF=∠ABC=90°，
∴∠CBE=90°-60°=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°=∠FBH，
在△FBH和△ACB中

∴△FBH≌△ACB（AAS），
∴FH=AB=3，
∵∠HGF=∠DGA=45°，∠FHG=90°，
∴∠HFG=45°，
∴GH=FH，
∴在Rt△FGH中，FG==FH=×3=3，
即FG=3．
分析：（1）根据矩形的性质得出∠ADC=90°，CD∥AB，AC=BD，AC=2OA，BD=2OB，推出OA=OB，推出∠OAB=∠OBA，求出∠EOB=2∠OBA，∠EBO=∠F+∠BDF=2∠BDG，求出∠BDG+∠OBA=45°，代入∠OBA=∠ODC求出∠CDG=45°即可；
（2）根据矩形性质得出∠DAG=90°，根据∠DGA=∠ADG=45°求出AD=AG，得出△ADO是等边三角形，推出∠DAO=60°，∠CAB=30°，求出AC=2BC，AB=BC，根据S_矩形ABCD=BC×BC=9求出BC=3，求出AB=3，过F作FH⊥AB交AB延长线于H，证△FBH≌△ACB，推出FH=AB=3，求出GH=FH，在Rt△FGH中，根据勾股定理求出FG==FH，代入求出即可．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大．