Question

若a，b，c为实数关于x的方程2x²+2（a-c）x+（a-b）²+（b-c）²=0有实数根，求证：a+c=2b．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：证明题

分析：由关于x的方程2x²+2（a-c）x+（a-b）²+（b-c）²=0有实数根，得到△=[2（a-c）]²-4×2×[（a-b）²+（b-c）²]≥0，然后通过添项，将式子化为完全平方式，进而得到a+c=2b．

解答：证明∵关于x的方程2x²+2（a-c）x+（a-b）²+（b-c）²=0有实数根，
∴△=[2（a-c）]²-4×2×[（a-b）²+（b-c）²]≥0，
4（a-c）²-8[（a-b）²+（b-c）²]≥0，
（a-c）²-2[（a-b）²+（b-c）²]≥0，
[（a-b）+（b-c）]²-2（a-b）²-2（b-c）²≥0，
（a-b）²+2（a-b）（b-c）+（b-c）²-2（a-b）²-2（b-c）²≥0，
-（a-b）²+2（a-b）（b-c）-（b-c）²≥0，
-[（a-b）-（b-c）]²≥0，
∴（a-b）-（b-c）=0，
a-b-b+c=0，
∴a+c=2b．

点评：本题考查了根的判别式，解题关键是添项，将式子化为完全平方式．