【题目】(1)如图1,AB∥CD,点M为直线AB,CD所确定的平面内的一点,若∠A105,∠M108,请直接写出∠C的度数 ;
(2)如图2,AB∥CD,点P为直线AB,CD所确定的平面内的一点,点E在直线CD上,AN平分∠PAB,射线AN的反向延长线交∠PCE的平分线于M,若∠P30,求∠AMC的度数;
(3)如图3,点P与直线AB,CD在同一平面内,AN平分∠PAB,射线AN的反向延长线交∠PCD的平分线于M,若AMC180P,求证:AB∥CD.
【答案】(1);(2)
;(3)证明过程见解析
【解析】
(1)直接添加辅助线AC,结合三角形的内角和以及平行线的同旁内角即可求解;
(2)延长BA与CP交于Q,记CQ和AM交于点H,先根据AN平分∠PAB,利用三角形的外角和对顶角,用含∠BAN的式子来表示∠MHC,再∵AB∥CD,得到,通过CM平分∠PCE,得到∠MCH可以用含∠BAN的式子来表示,最后利用三角形的内角和即可求出答案;
(3)添加辅助线AC,则,
,结合已知AMC180
P,得到
,即可求到
的值,通过角平分线就知道了
,即可求到
,就得到了AB∥CD.
解:(1)如图,连接AC,
在中,
,
∵AB∥CD,
,
,
∵∠A105,∠M108,
∴;
(2)如图,延长BA与CP交于Q,记CQ和AM交于点H,
∵AN平分∠PAB,
,
,
∵∠P30,
∴,
,
∵AB∥CD,
,
∵CM平分∠PCE,
,
,
;
(3)如图,连接AC,
则,
,
∵AMC180P,
,
,
即,
∵AN平分∠PAB,MC平分∠PCD,
,
,
,
∴AB∥CD.
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【题目】如图,三角形纸片ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将∠C沿DE对折,使点C落在ΔABC外的点处,若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A. 80°B. 90°
C. 100°D. 110°
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【题目】在一个不透明的盒子中,共有“一白三黑”四个围棋子,其除颜色外无其他区别.
(1)随机地从盒子中取出1子,则提出的是白子的概率是多少?
(2)随机地从盒子中取出1子,不放回再取出第二子,请用画树状或列表的方式表示出所有可能的结果,并求出恰好取出“一黑一白”的概率是多少?
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【题目】问题情境:如图1,,
,
.求
度数.
小明的思路是:如图2,过 作
,通过平行线性质,可得
.
问题迁移:
(1)如图3,,点
在射线
上运动,当点
在
、
两点之间运动时,
,
.
、
、
之间有何数量关系?请说明理由;
(2)在(1)的条件下,如果点 在
、
两点外侧运动时(点
与点
、
、
三点不重合),请你直接写出
、
、
间的数量关系.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把P1(y1,x1)叫做点P的友好点,已知点A1的友好点为A2,点A2的友好点为A3,点A3的友好点为A4,,这样依次得到各点.若A2020的坐标为(3,2),设A1(x,y),则xy的值是( )
A.-5B.-1C.3D.5
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A,B两点,点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求△ABE面积的最大值.
(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求出点D坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】定义:在同一平面内,如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等,那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y= x﹣3交x轴于点M,⊙M的半径为2,矩形ABCD沿直线运动(BD在直线l上),BD=2,AB∥y轴,当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时,点C的坐标为( )
A.( ﹣
,﹣
)
B.( ﹣
,﹣
)
C.( ﹣
,﹣
)或(
+
,﹣
)
D.( ﹣
,﹣
)或(
+
,
)
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【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF,给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤PD=EC,其中正确结论的序号是______.
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