Question

【题目】在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD.

(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；

(2)如图1，若DF=，求AE的长；

(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转（）,点C,F的对应点分别为、.连接、，点G是的中点,连接AG.试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝；（3）（3），理由见解析.

【解析】

（1）运用四边形AMFN是正方形得到判断△AMC,△AND是Rt△，进一步说明△ABC是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.

（2）过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H，连接DH,使BH=HD，设AG＝，则AE= GE=，得到△GBE是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt△AMC≌Rt△AND，最后通过计算求得AE的长；

（3）延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得，可得≌，从而得到 ，可知∥,再根据题意证明≌，进一步说明是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.

（1）证明：∵四边形AMFN是正方形，

∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°

∴△AMC,△AND是Rt△

∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC

∵旋转后AB=AD

∴AC=AD

∴Rt△AMC≌Rt△AND(HL)

（2）过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H，连接DH,使BH=HD，

设AG＝

则AE= GE=

易得△GBE是等腰直角三角形

∴BG=EG＝

∴AB=BC=

易得∠DHF=30°

∴HD=2DF= HF=

∴BF=BH+HF=

∵Rt△AMC≌Rt△AND(HL)

∴易得CF=DF=

∴BC=BF-CF=

∴

∴

∴AE＝

（3）；

理由：如图2中,延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得,则≌,

∴ ,

∴∥,

∴

∵

∴

∴,

∵

∴≌（SAS）

∴

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∴

∴