【题目】模型介绍:古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B,他总是先去A营,再到河边饮马,之后再去B营,如图 ①,他时常想,怎么走才能使每天的路程之和最短呢?
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②,作B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,点C就是所求的位置.
请你在下列的阅读、应用的过程中,完成解答.
(1)理由:如图③,在直线L上另取任一点C′,连接AC′,BC′,B′C′,
∵直线l是点B,B′的对称轴,点C,C′在l上
∴CB= , C′B=
∴AC+CB=AC+CB′= .
在△AC′B′中,∵AB′<AC′+C′B′,∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结:
本问题实际是利用轴对称变换的思想,把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C为AB′与l的交点,即A、C、B′三点共线).
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.
(2)模型应用
如图 ④,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,F是AC上一动点.
求EF+FB的最小值
分析:解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连结ED交AC于F,则EF+FB的最小值就是线段的长度,EF+FB的最小值是 .
如图⑤,已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是 的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值是;
如图⑥,一次函数y=﹣2x+4的图象与x,y轴分别交于A,B两点,点O为坐标原点,点C与点D分别为线段OA,AB的中点,点P为OB上一动点,求:PC+PD的最小值,并写出取得最小值时P点坐标.
【答案】
(1)CB';C'B';AB'
(2)DE;;2
【解析】解:(1)理由:如图③,在直线L上另取任一点C′,连接AC′,BC′,B′C′,
∵直线l是点B,B′的对称轴,点C,C′在l上
∴CB=CB',C′B=C'B'
∴AC+CB=AC+CB′=AB'.
在△AC′B′中,∵AB′<AC′+C′B′,∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小
所以答案是:CB',C'B',AB';(2)模型应用
①解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连结ED交AC于F
则EF+FB的最小值就是线段DE的长度,EF+FB的最小值是 .
在正方形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=90°
∵点E是AB中点,
∴AE=1,
根据勾股定理得,DE= ,
即:EF+FB的最小值 ,
所以答案是:DE, ;
②如图⑤,
由圆的对称性可知,A与A'关于直径CD对称,连结A'B交CD于F,则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度,
∴∠AOD=∠A'OD=60°
∵点B是 的中点,
∴∠AOB=∠BOD= ∠AOD=30°,
∴∠A'OB=90°
∵⊙O的直径为4,
∴OA=OA'=OB=2,
在Rt△A'OB中,A'B=2 ,
∴BP+AP的最小值是2 .
所以答案是2 ,
③如图⑥,
由平面坐标系中的对称性可知,C与C'关于直径y轴对称,连结C'D交y轴于P,则PC+PD的最小值就是线C'D的长度,
∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x,y轴分别交于A,B两点,
∴A(2,0),B(0,4),
∴C(1,0),D(1,2),
∵C与C'关于直径y轴对称,
∴C'(﹣1,0),
∴C'D= =2 ,
∴PC+PD的最小值为2 ,
∵C'(﹣1,0),D(1,2),
∴直线C'D的解析式为y=x+1,
∴P(0,1).
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念,需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.
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【题目】成都市某校在推进新课改的过程中,开设的体育选修课有:A﹣篮球,B﹣足球,C﹣排球,D﹣羽毛球,E﹣乒乓球,学生可根据自己的爱好选修一门,学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计,制成了两幅不完整的统计图(如图).
(1)求出该班的总人数,并补全频数分布直方图;
(2)求出“足球”在扇形的圆心角是多少度;
(3)该班班委4人中,1人选修篮球,2人选修足球,1人选修排球,李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法,请你用列表或画树状图的方法,求选出的2人恰好1人选修篮球,1人选修足球的概率.
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【题目】如图,A为某旅游景区的最佳观景点,游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景,然后再由E处继续乘坐缆车到达A处,返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处,已知:AC⊥BC于C,DE∥BC,AC=200.4米,BD=100米,∠α=30°,∠β=70°,则AE的长度约为米.(参考数据:sin70≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.25).
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【题目】小明到服装店进行社会实践活动,服装店经理让小明帮助解决以下问题:服装店准备购进甲乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元,乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.
(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500元,则甲种服装最多购进多少件??
(2)在(1)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠a(0<a<20)元的价格进行促销活动,乙种服装价格不变,那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润?
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【题目】如图,图①是一块边长为1,周长记为P1的等边三角形纸板,沿图①的底边剪去一块边长为 的等边三角形纸板后得到图②,然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉的等边三角形纸板边长的 )后得到图 ③,④…,记第n块剪掉的等边三角形纸板的周长为Pn , 则Pn= .
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【题目】如图,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动.设∠APB=y(单位:度),那么y与点P运动的时间x(单位:秒)的关系图是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:
①△ABE≌△DCF;② ;③DP2=PHPB;④ .
其中正确的是 . (写出所有正确结论的序号)
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【题目】写出下列命题的已知、求证,并完成证明过程.
命题:如果一个三角形的两条边相等,那么两条边所对的角也相等(简称:“等边对等角”.)
(1)已知: .
求证: .
(2)证明:“等边对等角”
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