Question

10．已知△ABC内接于⊙O，F是弧$\widehat{BC}$上一点，OG⊥BF于点G，且OG=$\frac{1}{2}$AC．证明：AF⊥BC．

Answer 1

分析 作直径FM，连结BM、AM，根据圆周角定理得到∠MAF=90°，根据三角形中位线定理得到OG=$\frac{1}{2}$BM，根据题意得到MA∥BC，根据平行线的性质得到结论．

解答 证明：如图，作直径FM，连结BM、AM，
则∠MAF=90°，
∵OG⊥BF，
∴BG=GF，
在△FBM中，∵OF=OM，FG=GB，
∴OG=$\frac{1}{2}$BM，又OG=$\frac{1}{2}$AC，
∴BM=AC，
∴MA∥BC，
∴AF⊥BC．

点评 本题考查的是圆周角定理和三角形中位线定理，掌握直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．