Question

8．已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0），作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似，则t的值为$\sqrt{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，2±$\sqrt{2}$，．

Answer 1

分析 如图1当1＜t＜2时，由F（1+t，0），F和F′关于点M对称，得到F′（1-t，0）由经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，得到Q（1-$\frac{1}{2}$t），求出OQ=1-$\frac{1}{2}$t，
因为⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，求得PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，所以∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，证得△PMF≌△PNE（ASA），得到NE=MF=t，OE=t-1
当△OEQ∽△MPF时，由$\frac{OE}{MP}$=$\frac{OQ}{MF}$，求得t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，当△OEQ∽△MFP时，得到$\frac{OE}{MF}$=$\frac{OQ}{MP}$，求得t=$\sqrt{2}$；
如图2，当t＞2时，由F（1+t，0），F和F′关于点M对称，得到F′（1-t，0）由经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，得到Q（1-$\frac{1}{2}$t，0）
求得OQ=$\frac{1}{2}$t-1，由①得△PMF≌△PNE，得到NE=MF=t，OE=t-1当△OEQ∽△MPF得到$\frac{OE}{MP}$=$\frac{OQ}{MF}$，$\frac{t-1}{1}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{t}$，无解，
当△OEQ∽△MFP时，得到$\frac{OE}{MF}$=$\frac{OQ}{MP}$，解得t=2±$\sqrt{2}$，
所以当t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，t=$\sqrt{2}$，t=2±$\sqrt{2}$时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．

解答 解：①如图1当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-$\frac{1}{2}$t，0）
∴OQ=1-$\frac{1}{2}$t，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，
在△PMF和△PNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NPE=∠MPF}\\{PN=PM}\\{∠PNE=∠PMF}\end{array}\right.$，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF时，
∴$\frac{OE}{MP}$=$\frac{OQ}{MF}$，∴$\frac{t-1}{1}$=$\frac{1-\frac{1}{2}t}{t}$，
∴t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，
当△OEQ∽△MFP时，
∴$\frac{OE}{MF}$=$\frac{OQ}{MP}$，
∴$\frac{t-1}{t}$=$\frac{1-\frac{1}{2}t}{1}$，
∴t=$\sqrt{2}$；

②如图2，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-$\frac{1}{2}$t，0）
∴OQ=$\frac{1}{2}$t-1，
由①得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴$\frac{OE}{MP}$=$\frac{OQ}{MF}$，
∴$\frac{t-1}{1}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{t}$，无解，
当△OEQ∽△MFP时，
∴$\frac{OE}{MF}$=$\frac{OQ}{MP}$，
∴$\frac{t-1}{t}$=$\frac{\frac{1}{2}t-1}{1}$，
解得，t=2±$\sqrt{2}$，
所以当t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，t=$\sqrt{2}$，t=2±$\sqrt{2}$时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．
故答案为：t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，t=$\sqrt{2}$，t=2±$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，动点问题，切线的性质，抛物线的对称轴等知识点．