Question

16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=16，BD=12，动点P在线段AC上从点A向点C以4个单位/秒的速度运动，过点P作EF⊥AC，交菱形ABCD的边于点E、F，在直线AC上有一点G，使△AEF与△GEF关于EF对称．设菱形ABCD被四边形AEGF盖住部分的面积为S₁，未被盖住部分的面积为S₂，点P运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式分别表示S₁，S₂；
（2）若S₁=S₂，求x的值．

Answer 1

分析 （1）首先证得EF∥BD，证得△AEF∽△ADB，求得EF，进一步得出AP，分点P从点A到点O，从点O到点C两种情况，利用菱形的面积计算方法求得S₁，S₂；
（2）由（1）中的两个面积建立方程求得x的数值即可．

解答 解：（1）由题得，EF⊥AC，BD⊥AC，
∴EF∥BD
∴△AEF∽△ADB
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{EF}{BD}$
∴EF=6x，
又∵AP=PG=4x
∴当0＜x≤2时，
${S_1}=24{x^2}$，${S_2}=96-24{x^2}$，
当2＜x＜4时，EF=24-6x，
∴${S_1}=192-48{x^{\;}}$，S₂=48x-96．
（2）当0＜x≤2时，
24x²=96-24x²，
解得：x=$\sqrt{2}$；
当2＜x＜4时，
192-48x=48x-96，
解得：x=3．

点评 此题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分，且乘积的一半是菱形的面积是解决问题的关键．