Question

16．已知△ABC，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE，使AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠EAC，BE，CD交于点P．

①如图1，求证：CD=BE；
②如图2，当∠BAD=60°时，求证：PD=PA+PB；
③如图3，当∠BAD=90°时，若∠BAC=45°，∠BAP=30°，试探究线段BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 ①由SAS证明△ACD≌△AEB，得出对应边相等即可；
②在PD上截取PM=PA，连接AM，同（1）得：△ACD≌△AEB，得出∠ADC=∠ABE，得出A、D、B、P四点共圆，由圆周角定理得出∠APD=∠ABD，证出△ABD是等边三角形，得出∠ABD=60°，得出△APM是等边三角形，因此AM=PA，由AAS证明△ADM≌△ABP，得出MD=PB，即可得出结论；
③由等腰直角三角形的性质得出∠ABD=45°=∠BAC，证出BD∥AC，同理：AB∥CE，得出∠BCD=∠BNC，同①得：A、D、B、P四点共圆，由圆周角定理得出∠BDP=∠BAP=30°，由三角形的外角性质得出∠BNC=75°，得出∠BCD=75°，再由三角形内角和定理求出∠DBC=∠BCD，即可得出结论．

解答 ①证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ACD和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠DAC=∠BAE}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE；
②证明：在PD上截取PM=PA，连接AM，如图2所示：
同（1）得：△ACD≌△AEB，
∴∠ADC=∠ABE，
∴A、D、B、P四点共圆，
∴∠APD=∠ABD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠APD=60°，
∴△APM是等边三角形，
∴AM=PA，∠PAM=60°，
∴∠DAM=∠BAP，
在△ADM和△ABP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠BAP}&{\;}\\{∠ADM=∠ABP}&{\;}\\{AM=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ABP（AAS），
∴MD=PB，
∴PM+MD=PA+PB，
即PD=PA+PB；
③解：BD=CD，理由如下：
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=45°=∠BAC，
∴BD∥AC，同理：AB∥CE，
∴∠BCD=∠BNC，
同①得：A、D、B、P四点共圆，
∴∠BDP=∠BAP=30°，
∴∠BNC=30°+45°=75°，
∴∠BCD=75°，
∴∠DBC=180°-75°-30°=75°=∠BCD，
∴BD=CD．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、四点共圆、圆周角定理等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．