Question

11．已知二次函数y₁=ax²+bx+c图象如图，其顶点位于点A（-1，4），图象与x轴交于点B（-3，0）．
（1）求a，b，c的值；
（2）不等式ax²+bx+c＞0的解集是-3＜x＜1；
（3）若抛物线y₂是由y₁沿直线BA方向平移得到，且y₂恰好经过y₁的顶点A，抛物线y₂，y₁以及抛物线y₂的对称轴三者围成的图中的阴影部分的面积S，①y₂的顶点C的坐标是（1，8）；②S=8．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，可得a、b、c的值；
（2）根据函数与不等式的关系，函数图象位于x轴上方的部分，可得答案；
（3）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据平移不改变图形的形状，可得平移后的解析式，再根据待定系数法，可得顶点坐标C根据图形的割补法，可得阴影的面积与S_△ACD的关系．

解答 解：（1）设函数解析式为y=a（x+1）²+4，
把B（-3，0）代入，得
a（-3+1）²+4=0，
解得a=-1，
函数解析式为y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，
a=-1，b=-2，c=3；
（2）把y=0代入y=-x²-2x+3，即-x²-2x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
再联系图象，
当-x²-2x+3＞0，
取x轴上方的图象，此时-3＜x＜1；
（3）把A、B点代入y=kx+b，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
直线AB的解析式为y=2x+6，
设平移后抛物线的顶点坐标为（a，2a+6），
平移后的解析式为y=-（x-a）²+2a+6，
把A（-1，4）代入，
得4=-（-1-a）²+2a+6，
解得a₁=1，a₂=-1（不符合题意舍），
平移后的抛物线为y=-（x-1）²+8，
即C（1，8），
y₁与x轴的另一个交点为D，
如图，连接AD，

阴影的面积等于△ACD的面积，
S=S_△ACD=$\frac{1}{2}$×8×2=8，
故答案为：-3＜x＜1，（1，8），8．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法求函数解析式，图象位于x上方的部分是相应不等式的解集，利用割补法是求阴影面积的关键．