Question

7．如图，在△ABC的两边AB，AC上向△ABC外作正方形ABEF，ACGH，过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于点M，求证：FM=MH．

Answer 1

分析 设∠FAM=α，∠HAM=β．根据三角形的面积公式得到S_△FAM=$\frac{1}{2}$AF•AM•sinα，S_△HAM=$\frac{1}{2}$AH•AM•sinβ，根据正方形的性质得到∠FAB=90°，于是得到∠FAM+∠BAD=90°，由已知条件得到∠ABD+∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠ABD=∠FAM=α，同理∠ACD=∠AHM=β，根据正弦函数的定义得到AB•sinα=AD，AC•sinβ=AD，于是推出AF•sinα=AH•sinβ，于是得到S_△FAM=S_△HAM．即可得到结论．

解答 证明：设∠FAM=α，∠HAM=β．
∴S_△FAM=$\frac{1}{2}$AF•AM•sinα，S_△HAM=$\frac{1}{2}$AH•AM•sinβ，
∵四边形ABEF是正方形，
∴∠FAB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠FAM=α，同理∠ACD=∠AHM=β，
∵AB•sinα=AD，AC•sinβ=AD．
又∵AB=AF，AC=AH，
∴AF•sinα=AH•sinβ，
∴S_△FAM=S_△HAM．
∴FM=HM．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，垂直的定义，三角函数，熟练掌握各性质定理是解题的关键．