Question

【题目】在平面直角坐标系中，将A（1，0）、B（0，2）、C（2，3）、D（3，1）用线段依次连接起来形成一个图案（图案①）．将图案①绕点O逆时针旋转90°得到图案②；以点O为位似中心，位似比为1：2将图案①在位似中心的异侧进行放大得到图案③．

（1）在坐标系中分别画出图案②和图案③；

（2）若点D在图案②中对应的点记为点E，在图案③中对应的点记为点F，则S△DEF= ；

（3）若图案①上任一点P（A、B除外）的坐标为（a，b），图案②中与之对应的点记为点Q，图案③中与之对应的点记为点R，则S△PQR= ．（用含有a、b的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）作图参见解析；（2）15；（3）（a2+b2）.

【解析】

试题分析：（1）将图案①中的各顶点绕点O逆时针旋转90°得到知顶点的对应点，顺次连接对应点得到图案②；以点O为位似中心，位似比为1：2将图案①在位似中心的异侧进行放大得到图案③；即连接OA，OB，OC，OD，并延长到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′是OA，OB，OC，OD的2倍，顺次连接各点即可；（2）根据网格分析S△DEF是由哪几个图形组成，利用面积公式计算．从图中可看出三角形是矩形的面积﹣三个三角形的面积．所以S△DEF=9×5﹣4×2÷2﹣5×5÷2﹣9×3÷2=15；（3）以特殊点点C看作点P,P（a，b），则Q点坐标（-b,a）,R点坐标为（-2a,-2b）,首先从图中找出这个三角形的三点，然后再连线组成三角形，观察网格得到三角形的面积公式=矩形﹣3个三角形的面积，列出式子计算．

试题解析：（1）将图案①中的各顶点绕点O逆时针旋转90°得到各个顶点的对应点，顺次连接对应点得到图案②；以点O为位似中心，位似比为1：2将图案①在位似中心的异侧进行放大得到图案③；即连接OA，OB，OC，OD，并延长到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′是OA，OB，OC，OD的2倍，顺次连接各点，如图②和图③；

（2）从图中可看出三角形DEF的面积是矩形的面积﹣三个三角形的面积．所以S△DEF=9×5﹣4×2÷2﹣5×5÷2﹣9×3÷2=15；（3）∵点P（在第一象限内）的坐标为（a，b），∴点Q的坐标为（-b，a），点R的坐标为（-2a，-2b），不妨设a＞b，S△PQR=（2a+a）（a+2b）-(2a-b)(2b+a)-(a+b)(a-b)-(2a+a)(2b+b)=3a2+6ab-(2a2-2b2+3ab+a2-b2+9ab)=3a2+6ab-a2+b2-6ab=（a2+b2）.