Question

5．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转，当点D恰好落在AB边上时，
①线段DE与AC的位置关系是平行；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是相等；并证明你的结论．
（2）猜想论证
①当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，猜想（1）中S₁与S₂的数量关系是否仍然成立，并证明你的猜想．
②已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDE，请直接写出相应的BF的长．

Answer 1

分析 （1）①如图2，易证△ACD是等边三角形，即可得到∠ACD=∠CDE=60°，由此可得DE∥AC；②易证AD=DC=$\frac{1}{2}$AB，则有AD=BD，从而可得S₁=S_△ADC．由DE∥AC可得S_△ADC=S₂，即可得到S₁=S₂；
（2）①如图3，作DG⊥BC于点G，作AH⊥CE交EC的延长线于点H，易证△AHC≌△DGC，则有AH=DG，再由CE=CB可得S₁=S₂；
②如图4①，作DF⊥BD交BA于点F，连接FC，根据①中的结论可得S_△DCF=S_△BDE，在Rt△BDF中运用三角函数就可求出BF的值；如图4②，延长CD交BA于Q，则∠BQC=90°，作点F关于CQ的对称点F′，显然点F′在BA上，在Rt△BQD中运用三角函数可求出BQ，从而求出FQ（即F′Q）的值，即可得到BF′的值．

解答 解：（1）①DE∥AC．
提示：∵CA=CD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°．
∵∠CDE=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC．
故答案为：平行；
②S₁=S₂．
理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=$\frac{1}{2}$AB．
∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=BD，
∴S₁=S_△ADC．
∵DE∥AC，
∴S_△ADC=S₂，
∴S₁=S₂．
故答案为：相等；

（2）①S₁=S₂仍然成立．
理由：如图3，作DG⊥BC于点G，作AH⊥CE交EC的延长线于点H．
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠DCG+∠ACE=180°．
∵∠ACH+∠ACE=180°，
∴∠ACH=∠DCG．
在△AHC和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHC=∠DGC}\\{∠ACH=∠DCG}\\{AC=DC}\end{array}\right.$，
∴△AHC≌△DGC，
∴AH=DG．
∵CE=CB，
∴S₁=S₂；
②BF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
提示：如图4①，作DF⊥BD交BA于点F，连接FC，
根据①中的结论可得S_△DCF=S_△BDE，
此时，在Rt△BDF中，
$\frac{BD}{BF}$=$\frac{4}{BF}$=cos∠DBF=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
如图4②，延长CD交BA于Q，则∠BQC=90°．
作点F关于CQ的对称点F′，显然点F′在BA上，
在Rt△BQD中运用三角函数可求得BQ=2$\sqrt{3}$，
∴F′Q=FQ=BF-BQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BF′=BQ-F′Q=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、三角函数、平行等积法、轴对称性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，通过三角形全等证到CE和BC边上的高相等是解决第（2）①小题的关键；利用（2）①中的结论及轴对称变换是解决第（2）②小题的关键．