Question

3．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，BC=8，AC=6．求
（1）⊙O的半径；
（2）DB的长．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由勾股定理求出AB的长，进而可得出结论；
（2）连接OD，根据等腰三角形的性质得出∠OAD=∠ODA，再由AD平分∠BAC可知∠OAD=∠CAD，故可得出∠BOD=∠OAC，所以OD∥AC，由三角形中位线定理得出OM是△ABC的平分线，故可得出OM的长，由相似三角形的判定得出△AEC∽△DEM，故可得出ME的长，进而得出BE的长，由△ACE∽△BDE即可得出DB的长．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∵BC=8，AC=6，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴OA=OB=5；

（2）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠OAC，
∴OD∥AC．
∵点O是线段AB的中点，
∴OM是△ABC的平分线，
∴OM=$\frac{1}{2}$AC=3，CM=BM=$\frac{1}{2}$BC=4．
∴DM=5-3=2．
∵∠AEC=∠DEM，∠CAE=∠MDE，
∴△AEC∽△DEM，
∴$\frac{AC}{DM}$=$\frac{CE}{ME}$，即$\frac{6}{2}$=$\frac{CE}{4-CE}$，解得CE=3，
∴ME=4-3=1，
∴BE=BM+ME=4+1=5．
∵∠AEC=∠BED，∠BDE=∠C=90°，
∴△ACE∽△BDE，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CE}{BE}$，即$\frac{6}{BD}$=$\frac{3}{5}$，解得BD=10．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．