Question

8．如图，在平面直角坐标系中，△OA₀A₁，△OA₁A₂，△OA₂A₃，△OA₃A₄…都是等腰直角三角形，点A₀（1，0），A₁（1，1），A₂（0，2），A₃（-2，2），A₄（-4，0），…，则依图中所示规律，A₂₀₁₅的坐标为（2¹⁰⁰⁷，2¹⁰⁰⁷）．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到OA₁=$\sqrt{2}$，OA₂=（$\sqrt{2}$）²，…，OA₂₀₁₅=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵，再利用A₀、A₁、A₂、…，每8个一循环，再回到x的正半轴的特点可得到点A₂₀₁₅在第三象限，再利用等腰直角三角形的性质得到点A₂₀₁₅到x轴和y轴的距离相等，都等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵=2²⁰¹⁴，最后根据各象限点的坐标特点即可确定点A₂₀₁₅的坐标．

解答 解：∵∠OA₀A₁=90°，OA₀=A₀A₁=1，以OA₁为直角边作等腰Rt△OA₁A₂，再以OA₂为直角边作等腰Rt△OA₂A₃，…，
∴OA₁=$\sqrt{2}$，OA₂=（$\sqrt{2}$）²，…，OA₂₀₁₅=（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵，
∵A₀、A₁、A₂、…，每8个一循环，再回到x的正半轴，
而2015+1=252，
∴点A₂₀₁₅在第一象限，
∴点A₂₀₁₅到x轴和y轴的距离相等，都等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵=2¹⁰⁰⁷，
故答案为（2¹⁰⁰⁷，2¹⁰⁰⁷）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍．也考查了直角坐标系中各象限的坐标特点以及点的位置的变化规律的探究．