Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，A（0，3），C（4，0），点P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q，当△POQ为等腰三角形时，点P坐标为________．

Answer 1

P₁（1，3），P₂（7，3）
分析：设点P的横坐标为m，因为△POQ是等腰三角形所以PO=PQ，根据等式PA²+AO²=PB²+BQ²可求得m的值，从而就可确定点P的坐标．
解答：∵△POQ是等腰三角形，
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，
又∵△OAP∽△PBQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）；
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3）；
③当P在线段BA的延长线上时，显然不成立；
故点P坐标为P₁（1，3），P₂（7，3）．
故答案为：P₁（1，3），P₂（7，3）．
点评：此题考查学生对等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理及一次函数等知识点的综合运用．