Question

18．如图，点P（x，y₁）与Q（x，y₂）分别是两个函数图象C₁与C₂上的任一点．当a≤x≤b时，有-1≤y₁-y₂≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y₁）与Q　（x，y₂）分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点，当-3≤x≤-1时，y₁-y₂=（3x+1）-（2x-1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y≤1，所以-1≤y₁-y₂≤1成立，因此这两个函数在-3≤x≤-1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+1与y=2x+2在0≤x≤2上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=x²-x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过构建函数y=x-1，根据一次函数的性质可得出该函数在0≤x≤2上单调递增，分别代入x=0、x=2即可得出y的取值范围，由此即可得出结论；
（2）由函数y=x²-x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y=x²-（a+1）x，根据抛物线的位置不同，令其最大值≤1、最小值≥-1，解关于a的不等式组即可得出结论．

解答 解：（1）函数y=3x+1与y=2x+2在0≤x≤2上是“相邻函数”，理由如下：
点P（x，y₁）与Q　（x，y₂）分别是两个函数y=3x+1与y=2x+2图象上的任一点，
当0≤x≤2时，y₁-y₂=（3x+1）-（2x+2）=x-1，
通过构造函数y=x-1并研究它在0≤x≤2上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y≤1，
所以-1≤y₁-y₂≤1成立，
因此这两个函数在0≤x≤2上是“相邻函数”．
（2）∵函数y=x²-x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴构造函数y=x²-（a+1）x，在0≤x≤2上-1≤y≤1．
根据抛物线y=x²-（a+1）x对称轴的位置不同，来考虑：


①当$\frac{a+1}{2}$≤0，即a≤-1时（图1），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{最小}=0+0=0}\\{{y}_{最大}=4-2（a+1）≤1}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{1}{2}$，
∴此时无解；
②当0＜$\frac{a+1}{2}$≤1，即-1＜a≤1时（图2），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{最小}=（\frac{a+1}{2}）^{2}-（a+1）\frac{a+1}{2}≥-1}\\{{y}_{最大}=4-2（a+1）≤1}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$≤a≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤a≤1；
③当1＜$\frac{a+1}{2}$≤2，即1＜a≤3时（图3），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{最小}=（\frac{a+1}{2}）^{2}-（a+1）\frac{a+1}{2}≥-1}\\{{y}_{最大}=0+0=0}\end{array}\right.$，解得：-3≤a≤1，
∴此时无解；
④当2＜$\frac{a+1}{2}$，即a＞3时（图4），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{最大}=0}\\{{y}_{最小}=4-2（a+1）≥-1}\end{array}\right.$，解得：a≤$\frac{3}{2}$，
∴此时无解．
综上可知：若函数y=x²-x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为$\frac{1}{2}$≤a≤1．

点评 本题考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）构建函数y=x-1，根据一次函数的性质找出当0≤x≤2时-1≤y≤1；（2）按抛物线的对称轴不同结合“相邻函数”的定义找出关于a的不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质按对称轴的位置不同来分段讨论．