Question

如图，直线y=-x+5与双曲线y=

4

x

交于A、B两点，点C为双曲线A、B之间一点，求△ABC的最大面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：△ABC的面积最大时，点C到AB的距离最大，因此C点一定是平行于直线AB且与双曲线相切的切点．相切也就是这条直线与双曲线只有一个交点，求△ABC的最大面积，再根据判别式的意义确定平移后的直线解析式，得到平移的距离，则可根据三角形面积公式求解．

解答：解：设这条直线解析式为：y=-x+b，代入y=

4

x

得：
-x+b=

4

x

 x²-bx+4=0
△=b²-16=0
 b=4或-4（不合题意）
解得：x=2，y=2
 故直线解析式为：y=-x+4
 C点坐标为（2、2）
由解析式可知两直线与y轴交点为（0、4）（0、5）两直线与坐标轴夹角为45°，
 故两直线间距离为：

2

2

，
解方程组

y=-x+5 y= 4 x

得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
则B（4，1），A（1，4）
所以AB=

(4-1)2+(1-4)2

=3

2

，
 S_△ABC=

1

2

AB×h=

1

2

×3

2

×

2

2

=1.5
所以△ABC的最大面积=1.5．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．