Question

把抛物线y=-

1

3

x²向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到一条新抛物线．
（1）求所得的新抛物线的解析式；
（2）求新抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）对于新抛物线，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）对于新抛物线，x取何值时，y有最大值（或最小值），并求出最大（最小）值．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,二次函数的性质

专题：

分析：（1）根据“左加右减，上加下减”的规律即可得出平移后抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点式：y=a（x-h）²+k，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，由此求解即可；
（3）由函数图象的开口方向及对称轴方程，利用二次函数的增减性即可求解；
（4）由于a＜0，抛物线开口向下，可知新抛物线在顶点处有最大值，由此求解即可．

解答：解：（1）把抛物线y=-

1

3

x²向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得的新抛物线的解析式为y=-

1

3

（x+3）²+4；

（2）∵y=-

1

3

（x+3）²+4，a=-

1

3

＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=-3，顶点坐标为（-3，4）；

（3）∵抛物线y=-

1

3

（x+3）²+4的开口向下，对称轴为x=-3，
∴当x＜-3时，y随x的增大而增大，当x＞-3时，y随x的增大而减小；

（4）∵y=-

1

3

（x+3）²+4，a=-

1

3

＜0，
∴当x=-3时，y有最大值4．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．
同时考查了二次函数图象与几何变换．