Question

Ⅰ．如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：

DP

BQ

=

PE

QC

；
Ⅱ．如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连结AG，AF，分别交DE于M，N两点．

（1）如图②，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
（2）如图③，探究DM，MN，EN之间的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出

DP

BQ

=

PE

QC

；
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高

2

2

，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长

2

3

，根据

MN

GF

等于高之比即可求出MN；
②可得出MN²=DM•EN，由△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF²=CF•BG，再根据（1）

DM

BG

=

MN

BF

=

EN

FC

，从而得出答案．

解答：（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴

DP

BQ

=

AP

AQ

，
同理在△ACQ和△APE中，

PE

QC

=

AP

AQ

，
∴

DP

BQ

=

PE

QC

；

（2）①解：作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=

2

2

，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=

1

3

，DE=

2

3

，
∵DE边上的高为

2

6

，MN：GF=

2

6

：

2

2

，
∴MN：

2

3

=

2

6

：

2

2

，
∴MN=

2

9

．
②MN²=DM•EN．
证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴

DG

CF

=

BG

EF

，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF²=CF•BG，
由（1）得

DM

BG

=

MN

BF

=

EN

FC

，
∴

MN

GF

×

MN

GF

=

DM

BG

•

EN

CF

，
∴（

MN

GF

）²=

DM

BG

•

EN

CF

，
∵GF²=CF•BG，
∴MN²=DM•EN．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．