Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从A点出发，沿对角线AC向C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）求△CPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
（2）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值；
（3）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据相似三角形的判定与性质，可得PF的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）分类讨论，外切，内切，
根据相似三角形的性质，可得PF、FC的长，根据勾股定理，可得PQ的长，根据相切时PQ的两种表达方式，可得方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：PC=QC，PQ=QC，PQ=PC，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：在矩形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
则AC=10，
由题意得：AP=2t，CP=10-2t，CQ=t，
（1）
过点P作PF⊥BC于F，
可得△CPF∽△CAB，
∴

PF

AB

=

CP

CA

，即

PF

6

=

10-2t

10

，
∴PF=6-

6

5

t，
∴S=

1

2

×QC×PF=-

3

5

t²+3t（0≤t≤5）．

（2）∵△PCF∽△ACB，
∴

PF

AB

=

PC

AC

=

FC

BC

，
即

PF

6

=

10-2t

10

=

FC

8

，
∴PF=6-

6

5

t，
FC=8-

8

5

t，
则在Rt△PFQ中，
PQ²=PF²+FQ²=（6-

6

5

t）²+（8-

8

5

t-t）²=

41

5

t2-56t+100．
①当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，
此时PQ²=

41

5

t2-56t+100=9t²，
整理得：t²+70t-125=0，
解得t₁=15

6

-35，t₂=-15

6

-35（舍去）．
②当⊙P与⊙Q内切时，有PQ=PA-QC=t，
此时PQ²=

41

5

t2-56t+100=t²，整理得：
9t²-70t+125=0，
解得t₁=

25

9

，t₂=5．
综上所述：⊙P与⊙Q相切时t=

25

9

或t=5或t=15

6

-35；

（3）10-2t=t，
t=

10

3

秒（此时PC=QC），

41

5

t2-56t+100=t²
t=

25

9

秒（此时PQ=QC），

41

5

t2-56t+100=（10-2t）²
t=

80

21

秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了相似三角形的判定与性质，两圆相切的关系，解一元二次方程，分类讨论是解题关键，题目有难度，注意要把不符合题意的解舍去．