Question

如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S．
（1）求正方形的边长；
（2）设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；
（3）当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）S_{正方形EFGC}=S_梯形ABCD=（4+8）×6=36．
设正方形边长为x．
∴x²=36，
∴x₁=6，x₂=-6（不合题意，舍去）．
∴正方形的边长为6．

（2）①当0＜x≤4时，重叠部分为△MCN．
过D作DH⊥BC于H，可得△MCN∽△DHN，
∴=，
∴=，
∴MC=x，
∴S=CN•CM=•x•x．
∴S=x²．
②当4＜x≤6时，重叠部分为直角梯形ECND．
S=[4-（8-x）+x]×6，
∴S=6x-12．

（3）存在．
∵S_梯形ABCD=36，当0＜x≤4时，S=x²，
∴×36=x²，x=2（取正值）＞4
∴此时x值不存在．
当4＜x≤6时，S=6x-12，
∴×36=6x-12，
∴x=5．
综上所述，当x=5时，重叠部分面积S等于直角梯形的一半．
分析：（1）可通过求出梯形的面积即正方形的面积来求正方形的边长．
（2）由（1）的结果可看出AD，EF也在一条直线上，那么本题要分两种情况进行讨论．
①当D在E点上或E点左侧时，即当0＜x≤4时，重叠部分是个三角形，如果设DN与CE的交点为M，那么高就是CM底边就是CN，CN=x，CM可以通过构建相似三角形来求，过D作DH⊥BC于H，那么根据三角形CMN和HDN相似即可求出CM，也就能得出关于x，y的函数关系式．
②当D在E点右侧时，即当4＜x≤6时，重叠部分是直角梯形，而DE=CG-（8-x），然后根据梯形的面积公式即可得出x，y的函数关系式．
（3）先求出梯形的面积，然后将其一半的值代入（2）的函数式中，求出符合题意的解即可．
点评：本题主要考查了梯形、正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，（2）中要根据重合部分的形状的不同来分类讨论．不要漏解．