Question

10．如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=5，PC=4，则∠APC=150°°．

Answer 1

分析 将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△CEA，根据旋转的性质得EC=BP=5，AE=AP=4，∠PAE=60°，则△APE为等边三角形，得到PE=PA=3，∠APE=60°，在△EPC中，PE=3，PC=4，EC=5，根据勾股定理的逆定理可得到△EPC为直角三角形，且∠CPE=90°，即可得到∠APC的度数．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△CEA，
连EP，如图，
∴EC=BP=5，AE=AP=4，∠PAE=60°，
∴△APE为等边三角形，
∴PE=PA=3，∠APE=60°，
在△EPC中，PE=3，PC=4，EC=5，
∴CE²=PE²+PC²，
∴△EPC为直角三角形，且∠CPE=90°，
∴∠APC=90°+60°=150°．
故答案为150°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．