Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC的垂直平分线上．

（1）若AB＝5，BC＝7，求△ABE的周长；

（2）若∠B＝57°，∠DAE＝15°，求∠C的度数．

Answer 1

【答案】（1）△ABE的周长＝12；（2）∠C＝31°．

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE=CE，于是得到结论；
（2）设∠C=α，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠C=α，根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠DAC=2×（15°+α），根据三角形的内角和即可得到结论．

解：（1）∵点E在AC的垂直平分线上，

∴AE＝CE，

∴AE+BE＝BE+CE＝BC＝7，

∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BC＝12；

（2）设∠C＝α，

∵AE＝CE，

∴∠EAC＝∠C＝α，

∵∠DAE＝15°，

∴∠DAC＝15°+α，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠DAC＝2×（15°+α），

∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，

∴57°+α+2（15°+α）＝180°，

∴α＝31°，

∴∠C＝31°．