Question

10．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点．
（1）若点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．当k=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 时，以⊙P与x轴的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
（2）若点P在原点，试探讨在以P为圆心，r为半径的圆上，到直线l：y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点的个数与r的关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，⊙P与x轴的交于点C、D，利用等边三角形的性质得DE=PE=3，再由OP⊥DE得到OD=OE=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，于是可根据勾股定理计算出OP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，从而可得k=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）作OH⊥AB于H，如图2，利用一次函数图象上点的坐标特征确定A（-4，0），B（0，-8），则利用勾股定理可计算得AB=4$\sqrt{5}$，再利用面积法求出OH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，接着通过探讨OH上到直线y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点，作图：以O为圆心，以r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$为半径作圆，交OH于E；以O为圆心，以r=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$为半径作圆，交OH于F，得到点E和点F到直线y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$，然后利用圆的对称性探讨⊙P上到直线l：y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点的个数与r的关系．

解答 解：（1）如图1，⊙P与x轴的交于点C、D，△PCD为等边三角形，则DE=PE=3，
∵OP⊥DE，
∴OD=OE=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，
∴OP=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴P（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
即k=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
故答案为-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（2）作OH⊥AB于H，如图2，
当y=0时，-2x-8=0，解得x=-4，则A（-4，0），
当x=0时，y=-2x-8=-8，则B（0，-8），
∴OA=4，OB=8，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$OH•AB=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OH=$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
以O为圆心，以r=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$-$\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$为半径作圆，交OH于E；以O为圆心，以r=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$+$\sqrt{5}$=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$为半径作圆，交OH于F，
则点E和点F到直线y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$，
∴当0＜r＜$\frac{3\sqrt{5}}{5}$时，⊙P上到直线l：y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点的个数为0个；
当r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$时，⊙P上到直线l：y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点的个数为1个；
当$\frac{3\sqrt{5}}{5}$＜r＜$\frac{13\sqrt{5}}{5}$时，⊙P上到直线l：y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点的个数为2；
当r=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$时，⊙P上到直线l：y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点的个数为3个；
当r＞$\frac{13\sqrt{5}}{5}$时，⊙P上到直线l：y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点的个数为4个．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系、圆的对称性、等边三角形的性质和一次函数图象上点的坐标特征；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长；会从特殊位置出发分层探讨⊙P上到直线l：y=-2x-8的距离为$\sqrt{5}$的点的个数与r的关系．