Question

5．为了节省空间，时尚装修的设计师设计出一款餐桌，餐桌的两边翻开后会成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AB和CD平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC=1.6米，AB=0.8米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加$\frac{32π}{75}-\frac{8\sqrt{3}}{25}$平方米．（结果保留π）

Answer 1

分析 如图，首先求出∠BOC的度数，然后分别求出扇形OBC、△OBC的面积，进而求出弓形BnC的面积，即可解决问题．

解答 解：如图，连接OB；由题意得：∠ABC=90°，
∵sin∠C=$\frac{AB}{AC}=\frac{0.8}{1.6}=\frac{1}{2}$，
∴∠C=30°；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∴S_弓形BnC=S_扇形OBC-S_△OBC
=$\frac{120π•（0.8）^{2}}{360}-\frac{1}{2}×（0.8）^{2}•sin120°$
=$\frac{16π}{75}-\frac{4\sqrt{3}}{25}$，
∴桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加2S_弓形BnC=$\frac{32π}{75}-\frac{8\sqrt{3}}{25}$（平方米），
故答案为$\frac{32π}{75}-\frac{8\sqrt{3}}{25}$．

点评 该题主要考查了勾股定理、扇形面积的计算等知识点及其应用问题；解题的方法是将实际问题转化为数学中的几何问题；解题的关键是灵活运用勾股定理、扇形面积公式等来分析、解答．